極值問題解題技巧

極值,算是大家在高中數學中覺得相對麻煩的部分。在高中數學中,求極值的方法有很多種:

  • 數與式
  • 多項式
  • 指對數
  • 向量
  • 微分…

然而,這類的問題卻散落在不同的單元、缺少整合。

  • 小範圍的考試倒是容易,畢竟,通常在一次段考中求極值的方法最多也就一種
  • 麻煩的是,在大範圍考試中,我們該如何從眾多求極值的方法中,選出一個最適合題目的解法。

而今天這篇文章,就來告訴你我自己是怎麼解這類型題目的。

以高中數學來說,最重要的解極值方法總共有以下四種:

  1. 算幾不等式
  2. 配方法/判別式
  3. 柯西不等式
  4. 微分

接著,就來討論一下,你該在什麼樣的時機使用這些公式。

首先,算幾不等式。
算幾不等式的題型相當單純,使用時機只有三個:
1.已知『和』的值,求『積』的極值

ex:已知a、b、c都大於零,a+b+c=10,求abc的極大值?

2.已知『積』的值,求『和』的極值

ex:已知a、b、c都大於零,abc=10,求a+b+c的極小值?

3.倒數相『加』,求極值

ex:已知x>0,求x + 1/x 的極小值。

如果沒看到以上這三種條件的任何一個,那沒什麼好說的,直接優先排除算幾不等式的可能性,選擇其他方法進行。

再來,配方法/判別式
如果題目出現的變數只有『一個』最高次數為二次。那這題,大概有九成的機率是考你多項式的觀念,用配方法或是判別式即可解出來。

Ex: x2 + 5x + 3的最小值?

Ex: (x2 -x +1)/(x2 + x +1)的極值?

接著,柯西不等式,這算是一個考法比較多的公式。
最常見的題型就是,題目中出現一串『平方的相加』,這個時候,你就要直覺聯想到柯西不等式。

Ex: 設xyz為實數,若x2y+2z=6,求x2y2z2的最小值,又此時xyz之值為何?

當然啦,柯西不等式還有其他的考法,但是我比較不建議大家把它記完,因為他太過瑣碎,但是這並不會影響我們的解題思路,詳細內容待會再說明。

最後,微分。

微分解極值的使用條件非常直觀,就只有一個。

題目只有x,然後次數長得很奇怪(ex:三次、根號…)
Ex:求函數f(x)=3x5−5x3在區間[−2,2]的極大值、極小值。

只要看到這類的東西,直接微分就對了。

講完了各類極值方法的使用時機,接著來談談到底我們做題目時的思路怎麼樣比較快。
首先,有一個很大的觀念是

你現在,到底在考哪一種考試?

考學測跟考指考的做題思路會稍有差異。

一、考學測
學測範圍不考微分,所以在剛剛說明的方式中,你只需要鎖定

  • 算幾不等式
  • 配方法/判別式
  • 柯西不等式

判斷SOP如下:

  1. 題目只有x,而且最高也就二次式→直接配方或是用判別式。
  2. 題目不只有x,看看題目是否符合算幾的三個使用時機,如果可以就直接套。
  3. 假使前兩個情境都不符合,那就直接用柯西不等式,你也不需要考慮柯西的使用條件,因為學測會用到的極值求法也就這三個。

二、考指考
考指考的話,判斷公式的使用又更單純了。
指考最喜歡考微積分,如果題目只有一個變數,直接微分就對了,而這類的使用時機也最高。
假使出現兩個變數、或是微分做不出來(機率超級超級低),這個時候你再考慮其他種可能(也就是再走一次學測極值的SOP)。

以上,大概就是我自己針對極值題型的一套做法。

最後,幫大家上個流程圖複習一下:

如果是學測、指考的極值問題,大體上不會超出這上面的思路,用上述的想法進行解題,應該看到題目後的10秒內你就可以知道要用哪個公式。

當然啦,解極值的方法絕對不只這幾種,但是除了這幾種以外的極值題目,要馬是太過冷門,冷門到大考也不太會考,不然就是太難,屬於比賽型的題目。

總之,運用上面的想法,可以讓你用最短的時間,解決極值問題。