極值，算是大家在高中數學中覺得相對麻煩的部分。在高中數學中，求極值的方法有很多種:

• 數與式
• 多項式
• 指對數
• 向量
• 微分…

然而，這類的問題卻散落在不同的單元、缺少整合。

• 在小範圍的考試倒是容易，畢竟，通常在一次段考中求極值的方法最多也就一種。
• 麻煩的是，在大範圍考試中，我們該如何從眾多求極值的方法中，選出一個最適合題目的解法。

而今天這篇文章，就來告訴你我自己是怎麼解這類型題目的。

以高中數學來說，最重要的解極值方法總共有以下四種:

1. 算幾不等式
2. 配方法/判別式
3. 柯西不等式
4. 微分

接著，就來討論一下，你該在什麼樣的時機使用這些公式。

首先，算幾不等式。
算幾不等式的題型相當單純，使用時機只有三個:
1.已知『和』的值，求『積』的極值

ex:已知a、b、c都大於零，a+b+c=10，求abc的極大值?

2.已知『積』的值，求『和』的極值

ex:已知a、b、c都大於零，abc=10，求a+b+c的極小值?

3.倒數相『加』，求極值

ex:已知x>0，求x + 1/x 的極小值。

如果沒看到以上這三種條件的任何一個，那沒什麼好說的，直接優先排除算幾不等式的可能性，選擇其他方法進行。

再來，配方法/判別式。
如果題目出現的變數只有『一個』，最高次數為二次。那這題，大概有九成的機率是考你多項式的觀念，用配方法或是判別式即可解出來。

Ex: x² + 5x + 3的最小值?

Ex: (x² -x +1)/(x² + x +1)的極值?

接著，柯西不等式，這算是一個考法比較多的公式。
最常見的題型就是，題目中出現一串『平方的相加』，這個時候，你就要直覺聯想到柯西不等式。

Ex: 設x、y、z為實數，若x－2y＋2z＝6，求x²＋y²＋z²的最小值，又此時x、y、z之值為何？

當然啦，柯西不等式還有其他的考法，但是我比較不建議大家把它記完，因為他太過瑣碎，但是這並不會影響我們的解題思路，詳細內容待會再說明。

最後，微分。

微分解極值的使用條件非常直觀，就只有一個。

題目只有x，然後次數長得很奇怪(ex:三次、根號…)
Ex:求函數f(x)=3x⁵−5x³在區間[−2,2]的極大值、極小值。

只要看到這類的東西，直接微分就對了。

講完了各類極值方法的使用時機，接著來談談到底我們做題目時的思路怎麼樣比較快。
首先，有一個很大的觀念是

你現在，到底在考哪一種考試?

考學測跟考指考的做題思路會稍有差異。

一、考學測
學測範圍不考微分，所以在剛剛說明的方式中，你只需要鎖定

• 算幾不等式
• 配方法/判別式
• 柯西不等式

判斷SOP如下:

1. 題目只有x，而且最高也就二次式→直接配方或是用判別式。
2. 題目不只有x，看看題目是否符合算幾的三個使用時機，如果可以就直接套。
3. 假使前兩個情境都不符合，那就直接用柯西不等式，你也不需要考慮柯西的使用條件，因為學測會用到的極值求法也就這三個。

二、考指考
考指考的話，判斷公式的使用又更單純了。
指考最喜歡考微積分，如果題目只有一個變數，直接微分就對了，而這類的使用時機也最高。
假使出現兩個變數、或是微分做不出來(機率超級超級低)，這個時候你再考慮其他種可能(也就是再走一次學測極值的SOP)。

以上，大概就是我自己針對極值題型的一套做法。

最後，幫大家上個流程圖複習一下:

如果是學測、指考的極值問題，大體上不會超出這上面的思路，用上述的想法進行解題，應該看到題目後的10秒內你就可以知道要用哪個公式。

當然啦，解極值的方法絕對不只這幾種，但是除了這幾種以外的極值題目，要馬是太過冷門，冷門到大考也不太會考，不然就是太難，屬於比賽型的題目。

總之，運用上面的想法，可以讓你用最短的時間，解決極值問題。